变则通——浅谈圆锥曲线问题中的解题途径的活化

王承超

　　(湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学 湖北 恩施 445000)

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　　变则通
——浅谈圆锥曲线问题中的解题途径的活化

　　王承超

　　(湖北省恩施土家族苗族自治州高级中学 湖北 恩施 445000)

　　圆锥曲线在生活与生产当中有广泛的应用，圆锥曲线问题亦是高考的热点和难点，然而如果我们能在求解过程当中，积累方法，活化解题途径，常可以大大简化解题途径，可谓“变则通”。下面列举圆锥曲线问题中的常用方法。

　　圆锥曲线；解题途径；变通

1 巧用圆锥曲线定义

1.1 求轨迹活定义

　　

　　解法1：(直接法)

　　则2(x+1)=-2(x-1)+y2∴C的轨迹方程为y2=4x

　　解法2：(定义法)

　　

　　

　　∴P的轨迹为抛物线。由F(1,0)，l:x=-1. ∴y2=4x

　　1.2 求最值活用定义

　　

　　

2 巧用点差法

点差法运用设而不求的思想，是将几何条件代数化的一种重要途径，可以在以下几个方面中体现其应用。

　　2.1 求轨迹方程中点差法应用

　　分析：提及中点，必然和A、B的坐标联系到一起。那么利用点差法将AB的斜率K值表示出来。

　　

　　

　　

　　

　　

　　

　　评析：从不同的角度写出AB的斜率，运用点差法思想解决问题。

　　2.2 圆锥曲线上点的对称问题中点差法的应用

　　例4．若抛物线y=x2上存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称，则实数m的取值范围是？

　　

　　

　　

　　

　　整理可得12m3+2m2+1<0.即(2m+1)(6m2-2m+1)<0

　　

　　评析：圆锥曲线上点的对称问题一般采用联立方程法找参数之间的关系，再用判别式大于零来锁定取值范围。但实际上易得到AB中点在l上，而kAB·kl=-1，点差法可以恰到好处的运用这个条件从而解决问题。

3 巧妙利用参数方程

例5.从短轴长为2b的椭圆中划出一面积最大的矩形，其面积最大值的取值范围是[3b2,4b2],则该椭圆的离心率取值范围是。

　　

　　

　　

　　

　　利用的是函数思想，数据复杂易出错。但是如果知道利用椭圆的参数方程，则会简便许多。

　　方法2：A(a·cosθ,b·sinθ),S=4ab·sinθcosθ=2ab·sin2θ

　　

　　评析：方法1引入4个未知量来表示S，利用函数思想需考虑对称轴和定义域。

　　方法2明显突出参数方程的优越性，简介明了，计算量小。

　　[1] 圆锥曲线问题的解题策略[J].李梅.学周刊.2015(16)

　　G633.6

　　A

　　1672-5832(2017)07-0085-01