郭胜红
摘 要：给出了原函数存在定理的两个简单推论，并讨论了含有变限定积分的函数性状及其应用。
关键词：原函数存在定理；变限积分；极限
微积分学这门学科在数学发展中的地位是十分重要的，变限积分就是一种特殊的定积分，也是经常考察的一个知识点。它具有很多特殊的性质，比如它的导数很特殊。特殊性决定了它的重要性，现就它的几个性质加以说明并举例阐述其应用。此外，为了解决在定积分形式下证明连续函数必定存在原函数这一问题，必须引入变限积分这一内容。
1知识点
设函数在上可积，变限定积分定义了上的一个新函数。
定理1（原函数存在定理）如果函数在上连续，则变上限积分在内可导，且其导数为.即是被积函数的一个原函数。
推论1：若函数在区间上连续，为内任一定点，则变动上限积分函数在上处处可导，且，。
此推论是变限积分的最重要的性质，掌握此定理需要注意两点：第一，下限为常数，上限为参变量（不是含的其他表达式）；第二，被积函数中只含积分变量，不含参变量。
推论2：若是函数在区间上的连续点时，还在点可导，且。而对函数，当连续，和可微时，可导且有。
讨论含有变限定积分的函数性状时，往往利用这些重要的结论。
2应用
2.1求极限
解：令
，。
定义，在（或）上连续，利用洛必达法则可得：
2.2设函数连续，，存在，求极限
解：令，作代换，有：
，由于连续，可导，
由于，，以及时，利用洛必达法则可得：
2.3设函数在上连续且递增，则函数在内递增
证：容易看出在上连续，存在，使得，，所以：
，
即函数在内递增。
2.4设为上周期是1的连续函数，且，函数在上有连续导数，又设，试证明收敛。
证明：令，则可导。
因为在在上连续，所以，使得，都有
，，而收敛，故由级数收敛的比较判别法知级数收敛。
尽管2.4从题目看来与变限积分函数求导无关，但是引入变限积分会有柳暗花明又一村的感觉。
有关变限积分函数的应用是比较多的，本文只给出了变限积分函数的一些性质和应用的简单探讨，以上讨论只是一個开始，如果进一步对其进行讨论，会得到一些更好的结论，也期望可以从其他的角度来研究变限积分函数，使得变限积分函数像初等函数一样充分的被讨论，并给予足够的重视。
参考文献：
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