伍俊溢
摘 要：次函数作为高中数学中非常重要的一部分，成为每年高考几乎必考的题目，所占分值也比较大，是所有考生学习备考中都不可忽视的的知识点。本文将从二次函數的图像性质以及它的应用、二次函数的根的求解方法这两个方面展开一些梳理和讨论，希望能带给同学们在数学学习上的一些帮助。
关键词：二次函数；图像性质；根的求解
在高中数学二次函数的学习部分，函数的图像是我们重点学习掌握的部分，它的特征和性质在帮助我们后续很多题目的分析解决有很大的帮助。可以说，关于二次函数的图像性质和函数根的求解有很大的关联，在学习的时候应该要把两者结合起来学习。
一、二次函数图像性质及其应用
（一）二次函数的图像性质
1.二次函数有三种表达式：
（二）二次函数图像性质的应用
二次函数的图像有很多好的性质，可以帮助我们方便快速的解决很多二次函数中的问题，比如根的求解问题，单调区间的问题，求最值的问题等。
1.利用二次函数求解y=ax^2+bx+c（a不等于0）大于0，小于0或者等于0时的x的取值范围。我们知道，在二次函数图像上，有关键的三个点，顶点（-b/2a，（4ac-b^2）/4a ）以及函数和x轴的两个交点。利用求根公式或者因式分解法可以求出两个交点x1、x2，通过观察二次函数的图像我们可以得出：当a>0时，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上，函数值大于0，在x1、x2两个点上，函数值等于0，在（x1，x2）上，函数值小于0；当a<0时，在（-∞，x1）和（x2，+∞）上，函数值小于0，在x1、x2两个点上，函数值等于0，在
（x1，x2）上，函数值大于0。
2.二次函数的图像是一个对称图形，我们可以利用它的对称性和凸性求解最值的问题。为了更好地解释求解过程，这里我举一个比较简单的例子说明问题。已知函数y=x2+2x+2，求函数在（-3，-2）上的最值。由函数的性质可以得出，该函数的开口方向向上，对称轴是x=-1，因此可知，在区间（-3，-2）上函数是单调递减的，并且在x=-3时函数有最大值，在x=-2时函数有最小值。
3.二次函数的图像和性质可以用来证明不等式。例如：已知a>0，2b>a+c，求证b-
设f（x）=ax2-2bx+c（a>0），因为a>0，2b>a+c，所以有f（1）=a-2b+c<0，加上图像开口向下，我们可以得出该二次函数图像一定与x轴有两个交点分别为x1、x2，且x1<1
二、二次函数的求根方法和技巧
（一）顶点式求解二次函数
在题目中已经告诉二次函数经过的顶点的坐标时，可以考虑用顶点式解答。该题型往往比较简单，直接设函数的表达式是y=a（x-h）2+k进行求解即可。
（二）三点式求解二次函数
三点式也是在函数求解方法中常用的一种，原理也相对简单。如果题目中告知函数经过确定的三个点，则可以用该方法求解。此时，只需要将函数设成一般式即y=ax^2+bx+c，然后分别将三个点的坐标带入函数式中求出a、b、c即可。
另外，交点式、平移式等也是在二次函数求解中经常会使用到的方法，我们可以发现，每种方法都有各自适合的题型特点，具体方法的应用我们要根据不同的题目特点和要求进行选择。
三、结语
综上所述，二次函数的学习由于涉及到的知识点繁多，题型变化又复杂多变，对于这部分我们在学习过程中一定要熟知它的图像性质及应用，注意不同性质间的联系，并对不同题型的解题方法多加总结才能更好地掌握这部分的知识点。
参考文献：
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[2]杨启祥.二次函数的图象和性质在高中数学中的地位[J].德宏教育学院学报，2001（01）.
[3] 顾慧民.二次函数在高中数学中的应用管窥[J].科学中国人，2014（18）.
