孔令才
概率论与数理统计是现代数学的重要分支。近年来,随着计算机的迅速普及,概率统计在经济、管理、金融、保险、生物、医学等方面的应用得到长足发展。正是这种广泛应用性,使得概率统计成为今天各类各专业大学生最重要的数学必修课之一。然而,传统的概率统计教学过于偏重理论的阐述、公式的推导、繁琐的初等运算;同时,缺乏与计算机的结合,给学生的学习带来很多困难。本文介绍概率统计中的主要问题在Matlab中的实现,把学生从繁琐的计算中解放出来,把更多的时间和精力用于基本概念和基本理论的思考和方法的创新,从而提高教师的教学效率和学生的学习效率。
一、常用概率密度的计算
Matlab中计算某种概率分布在指定点的概率密度的函数,都以代表特定概率分布的字母开头,以pdf(probability density function)结尾,例如:unidpdf(X, N):计算1到N上的离散均匀分布在X每一点处的概率密度;poisspdf(X, Lambda):计算参数为Lambda的泊松分布在X每一点处的概率密度;exppdf(X, mu):计算参数为mu的指数分布在X每一点处的概率密度;normpdf(X, mu, sigma):计算参数为mu, sigma的正态分布在X每一点处的概率密度。其他如连续均匀分布、二项分布、超几何分布等也都有相应的计算概率密度的函数。
除计算概率密度的函数外,Matlab中还有计算累积概率密度、逆概率分布函数及产生服从某分布的随机数的函数,分别以cdf,inv和rnd结尾。
二、随机变量数字特征的计算
(一)数学期望与方差
对离散型随机变量,可利用Matlab矩阵运算计算出其数学期望和方差;而对于连续型随机变量,则可以利用Matlab符号运行计算。对常见分布,Matlab还有专用的函数计算其期望与方差,如binostat, expstat, normstat, poisstat可用于计算二项分布、指数分布、正态分布和泊松的期望和方差。另外,Matlab中提供了计算方差和标准差的函数var与std。
(二)协方差与协方差矩阵
Matlab中,函数cov(X)用于计算随机变量的协方差或协方差矩阵。
三、样本统计量及其分布
(一)样本统计量及经验分布函数
Matlab中,函数[h, stats]=cdfplot(X)返回样本经验分布函数图像和样本数据的几个重要统计量,包括最小值、最大值、均值、中值和标准差。
(二)抽样分布
数理统计中常用的X2分布、t分布、F分布,Matlab中也有相应的函数计算其概率密度,分别为chi2pdf(X, V), tpdf(X, V), fpdf(X, V1, V2),其用法与前面介绍的计算其他常用分布的概率密度的函数相似。
四、参数估计
对服从正态分布N(u,б2)的观测数据向量X, Matlab中用函数normfit或mel来估计其参数和置信区间,而函数mle也可以用来估计服从其他分布的样本数据的参数和出置信区间。
例:命令R = exprnd(3,1,10)返回一组服从参数为3的指数分布的随机数,容量为10.
[p, pci] = mle('Exponential',R,0.05)则返回其均值的极大似然估计p = 4.3756及其置信水平为1-0.05=0.95的置信区间( 2.5611, 9.1247).
对于服从二项分布、指数分布、泊松分布和均匀分布等其它常见分布的数据,Matlab也有相应的计算极大似然估计和置信区间的函数,分别为binofit, expfit, poissfit, unifit等,其用法与normfit相似。
五、假设检验
对于假设检验,在Matlab中可以利用逆累积分布函数(如逆正态累积分布函数norminv),结合简单的计算给出检验结果。但Matlab中也有专门用于假设检验的函数:对方差已知时的单个样本均值检验可以用ztest,对单个样本均值可以用ttest,对两个样本均值差可以用ttest2等。
总之,对于概率统计中绝大部分问题,Matlab统计工具箱都提供了相应的函数。在学习概率统计时,结合这些函数将使学习变得更加简单易学。
参考文献:
[1]周品,赵新芬. MATLAB数理统计分析[M]. 北京: 国防工业出版社,2009.
[2]王正林,刘明. 精通MATLAB7[M]. 北京: 电子工业出版社,2006.
(作者单位:华北电力大学数理系)
