巧用曲率半径解决物理问题

张方彦

　　（南京市人民中学，江苏南京 210018）

1 题目

如图1为地球绕太阳运行的椭圆轨道，太阳位于椭圆的一个焦点上，a为近日点，b为远日点，地球在a、b两点的速度和与太阳的距离分别为V、V；R、R。求速度之比。

2 错误解法

根据万有引力定律和牛顿运动定律建立关系：

　　

　　

　　这是学生在解答过程中经常出现的错误。

3 分析

　　

　　

　　根据以前的教学的经验，学生在这个地方经常会问，上面求曲率的方法有没有理论依据？曲率半径真的是相等的吗？

　　

　　正确解法：如图3所示，太阳位于椭圆的焦点s处，太阳的质量为 M,地球的质量为m。在顶点1、2之间机械能守恒及开普勒第二定律得；

　　

　　其中，c为椭圆的半焦距，即

　　

　　由以上方程可求得

　　

　　顶点1处的曲率半径ρ可有地球在该处所受的万有引力等于地球在该处的向心力求的，即

　　

　　顶点2处的曲率半径ρ可由曲率圆的向心力公式求得，即

　　

　　图1 地球绕太阳运行的椭圆轨道

　　

　　图2 在近日点和远日点作两个跟轨道相切的圆

　　

　　图3 太阳位于椭圆的焦点

　　

　　图4 两个扇形的面积图

　　

　　由上面的推导可以知道地球在近日点和远日点的曲率半径一定相等。

　　其实这个问题也可用开普勒定律来研究。根据行星运动的第三定律，行星沿椭圆轨道时，它和中心天体的连线在相等时间内扫过的面积相等，以近日点和远日点为中心，取一个极短的时间间隔Δt，在这个时间内扫过的面积如图4所示的两个扇形的面积相等。

　　

　　

　　这两个扇形的面积分别为：

　　

　　由于S=S可以得到