韩一士
摘要：
非紧完备Einstein流形上“面积”与“体积”的单调性一直是一个非常有意义的问题。在本文中我们将先给出在非负的Ricci曲率上的三个单调性公式，并说明它们和向切锥收敛的速率有关。进一步的，我们将证明当Ricci曲率大于负常数时相应的单调性公式。
关键词：Einstein流形; “面积”; “体积”; 单调性
一、概述和定义
在本文中Mn是一个完备的n维光滑流形，其中n≥3。在本文中我们主要考虑M具有非负Ricci曲率的情况，我们将给出在这种情况下M上的三个单调性公式。之后我们将更近一步，将对Ricci曲率大于负常数的情况进行讨论，并得出此时的单调性公式。
下面我们先给出几个定义。
定义G为流形M上的Green函数;给定x∈M且集合G=Gx=G（x，g）。记G=Gx是极点x在的Green函数。接下来我们定义b=
G，由此我们可以显然地推出。
下面我们来定义n维完备光滑流形Mn上的“面积”与“体积”。
事实上A和V可以直观的理解为“面积”和“体积”，并由此易知A和V是有界的。
二、三个单调性公式
下面我们将给出非紧完备Einstein流形上“面积”与“体积”的三个单调性公式
定理1.第一单调性公式
以上是一般n维光滑流形Mn上的结果。
特别的，对具有非负Ricci曲率的流形，我们得到以下结果。
推论1.如果M是一个具有非负Ricci曲率的n维流形，那么，对所有的r>0，
一个自然的问题是改不等式能否取到等号。事实上，如果对某个r>0，不等式取等号，那么集合{x：b（x）≤r}与欧式空间Rn中半径r的球等距。
注意到上面推论中的不等式与拥有非负Ricci曲率的流形上的Bishop-Gromov体积比较定理相反。从中可以得到如下事实，上述不等式和欧氏几何中的体积有着紧密联系。同样，我们得到以下结果。
推论2，如果M是一个具有非负Ricci曲率的n维流形，且r2>r1>0，则
且等号成立当且仅当集合{x：b（x）≤r}与欧式空间Rn中半径r2的球等距。
下面给出第二单调性公式
定理2.第二单调性公式
这等价于
类似于之前的情况，我们对具有非负Ricci曲率的流形从第二单调性公式得到如下直接的推论。
推论3.如果M是一个具有非负Ricci曲率的n维流形，且r2>r1>0，则
其中
上述不等式等号成立当且仅当集合{x：b（x）≤r}与欧式空间Rn中半径r2的球等距。
定理3.第三单调性公式
对r2>r1>0，
三、当曲率大于负常数的单调性公式
上面我们集中于对M具有非负Ricci曲率的情况进行讨论，然后给出了在这种情况下M上的三个单调性公式。事实上，在Ricci曲率大于负常数的情况下，我们也可以得到类似的结果。下面我们对这种情况进行推广。
推论4.若Ricci曲率满足Ric≥-Λg，则
证明：显然我们有
同时我们注意到
这说明
所以我们有
我们可以从中得到下面关于单调性的直接推论。
推论5.如果M是一个n维流形且Ric≥-Λg，r2>r1>0，则
接下来我们定义
则
推论6.如果Ricci曲率满足Ric≥-Λg，则
证明：
这说明
又由
所以我们得到结论若Ricci曲率满足Ric≥-Λg，则
下面是一个直接的推论
推论7：
[参考文献]
[1] Allard，W.K.， Almgren， F.J. Jr： On the radial behavior of minimal surfaces and the uniqueness of their tangent cones. Ann. Math. （2） 113（2）， 215-265 （1981）
[2] Bakry， D. ， Ledoux， M.：A logarithmic Sobolev form of the Li ?Yau parabolic inequality. Rev. Mat. Iberoam.， 22 （2006）， 683-702.
[3] Colding， T.H.： New monotonicity formulas for Ricci curvature and applications;I. Acta Math. 209， 229？263 （2012）
（作者单位：浙江警察学院，浙江 杭州 310053）endprint
